Mathematifche Lehrmittel.

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würde, und dafs der etwa auftretende Reft nicht von der Form der Zahl, fon­dern nur von der Zifferfumme allein abhängig ift, aus welcher gleich bei ihrer Bildung( durch das Hinauflegen fämmtlicher Kugeln auf den Einheitenftab) alle möglichen 9 ausgefchieden werden können.

Um das Theilbarkeitsgefetz für den Divifor II abzuleiten, laffe der Lehrer wieder eine ganz willkürliche Anzahl Kugeln auf die einzelnen Stäbe der Mafchine ftecken, nehme dann eine Kugel vom dritten( Hunderterftab), lege fie auf den Ein­heitenftab und frage einen Schüler: Welche Veränderung habe ich dadurch mit der vorgelegten Zahl vorgenommen?

Nachdem diefe Frage von dem Schüler richtig beantwortet und die Ant­wort begründet wurde, richte er an einen zweiten die Frage: Wurde dadurch der etwa vorhandene Reft gegen den Divifor II geändert?

Nach der richtigen Beantwortung diefer Frage lege der Lehrer fämmtliche Kugeln des dritten Stabes auf den Einheitenftab. Sollte die Anzahl der Kugeln die Zahl 11 überfteigen oder erreichen, fo weife der Lehrer darauf hin, dafs man auch hier je 11 Kugeln weglaffen kann und blos den Reft zu berücksichtigen hat. Hierauf nehme er eine Kugel vom fünften Stabe und lege fie auf den erften ( Einheitenftab) und wiederhole diefelben Fragen. Das gleiche Verfahren iſt mit den Kugeln am 7., 9. u. f. w. Stabe fortzufetzen.

Nun nehme der Lehrer eine Kugel vom vierten Stabe( Taufenderftab), lege fie auf den zweiten( Zehnerftab), wiederhole die vorigen Fragen, und lege fämmt­liche Kugeln des vierten Stabes auf den zweiten. Ebenfo vérfahre er mit fämmt­lichen Kugeln des 6., 8. u. f. w. Stabes, auch hier alle Vielfachen von II aus­fcheidend.*

Durch diefen Vorgang wird die Beftimmung des Reftes einer beliebig grofsen Zahl auf die Auffuchung des Reftes einer zweizifferigen Zahl zurückgeführt. Da aber allen zweizifferigen, durch II theilbaren Zahlen die Eigenfchaft zukommt, dafs fie mit zwei gleichen Ziffern gefchrieben werden, fo wird der fprachgewandte Schüler leicht im Stande fein, das refultirende Theilbarkeitgefetz in Worten aus­zudrücken.

Die fo gewonnene zweiziffrige Zahl gibt uns aber auch ftets den kleinften pofitiven Reft, welchen die vorgelegte Zahl gegen den Divifor II hinterlässt, was bei den bis jetzt in den mathematifchen Lehrbüchern durchgeführten Methoden nicht immer der Fall ift.

Die Kenntnifs des kleinften pofitiven Reftes gegen die Diviforen 9 und II ift jedoch fowohl für die Theorie als auch für die Praxis fehr wichtig, da wir mit Hilfe derfelben die Richtigkeit unferer Rechnungen bei der Multiplication, Divi­fion, beim Potenziren und Wurzelausziehen dekadifcher Zahlen auf eine höchft einfache und fchnelle Weife einer Prüfung unterwerfen können. Durch die voraus­gefchickten Betrachtungen wurden wir in den Stand gefetzt, den kleinften pofiti­ven Reft für den Divifor II ebenfo leicht, wie für den Divifor 9 zu beftimmen, und können nach Belieben die Neuner oder Elferprobe anwenden. Da jedoch jede Probe, für fich allein angewendet, keine mathematiſche Gewifsheit der Rich­tigkeit des Refultates gibt, fo gewinnt durch die Verbindung beider Proben unfer praktifches Rechnen einen hohen Grad von Sicherheit. Profeffor Dr. Eduard Heis, welcher fich durch feine vorzügliche Sammlung von Beiſpielen und Auf­gaben aus der allgemeinen Arithmetik und Algebra fehr wefentliche Verdienfte um die Verbreitung gediegenen mathematiſchen Wiffens in Deutſchland und Oefterreich erworben, fagt in der 34. Auflage derfelben, Seite 52:„ Die

* Der allgemeine Beweis befteht in Folgendem. Es fei Na,+ 10a,+ 102a3+ 10%+

Iа

+ 1on1a n, fo mufs

weil, 102m+ 110( mod. 11) und 102m 1( mod. 11) ift, N=( a+ a+ as+)+ 10( a,+ a+ as+)( mod. 11) oder NS₁+ 10s,( mod. 11) fein.